import numpy as np
S0 = 10.0
S1 = np.array([20.0, 5.0])
P = np.array([0.4, 0.6])
r = S1 / S0 - 1
mu = P @ r
var = P @ (r - mu) ** 2
sigma = var ** 0.5
Ergebnisse
Rendite Up
1,000000
Rendite Down
-0,500000
Erwartete Rendite
0,100000
Erwarteter Wert morgen
11,000000
Varianz
0,540000
Volatilität
0,734847
Interpretation
Die Aktie liefert im Up-Zustand +100.0% und im Down-Zustand -50.0%. Die erwartete Rendite von 10.0% ist ein wahrscheinlichkeitsgewichteter Durchschnitt – sie wird in keinem der beiden Zustände tatsächlich realisiert. Der Erwartungswert sagt nichts darüber, welcher Zustand eintritt.
⚠️ Idealisierte Modellwelt: keine Transaktionskosten, Steuern, Liquiditätsrisiken oder Bid-Ask-Spreads.
Aktienherausgeber / Unternehmen
Woher kommt der Wert der Aktie – und wohin fließt das Geld des Käufers?
📖 Im Modell ist die Aktie ein abstraktes Financial Asset mit heutigem Preis 10 € und Zustandswerten (20 €, 5 €). Das Unternehmen dahinter wird nicht modelliert – seine Real Assets sind auf zwei Zustandswerte reduziert.
Cashflows
Position
heute
Up
Down
Primäremission: Kapitalzufluss an das Unternehmen
+10,00 €
–
–
Sekundärmarkt: Geld fließt an den verkaufenden Aktionär
0,00 €
–
–
Formeln & Einsetzung
Zustandswert der Aktie:S1 = (S1_u, S1_d)ᵀ S1 = (20, 5)ᵀ
Rechenschritte
Modellbestandteil: S0 und der Zustandsvektor S1.
Wirtschaftliche Einordnung (nicht Modellbestandteil): Emission vs. Sekundärmarkt, Real Assets als Wertquelle.
Modellbestandteil ist nur der Preisprozess (S0, S1). Wirtschaftliche Einordnung: Bei einer Primäremission fließt Kapital vom Anleger an das Unternehmen; beim Sekundärmarktkauf an den verkaufenden Aktionär, nicht erneut an das Unternehmen. Die Real Assets des Unternehmens erzeugen die wirtschaftliche Grundlage der künftigen Zustandswerte – im Kapitel-2-Modell wird dieser Prozess bewusst nicht abgebildet.
⚠️ Keine Bilanz- oder Emissionssimulation: Das Modell beschreibt ein abstrahiertes Financial Asset.
Anleihekäufer / Kreditgeber
Was bringt mir die sichere Anlage – und warum ist die Anleihe der Replikationsbaustein für sicheres Geld?
📖 Der Kreditgeber zahlt heute 10 € und erhält morgen in beiden Zuständen sicher 11 €.
Die Anleihe ist das risikolose Asset des Modells: 11 € in beiden Zuständen. Ihr Zinssatz definiert die Diskontierung, und als einziges zustandsunabhängiges Instrument ist sie der zentrale Baustein jedes Replikationsportfolios.
Anleiheemittent / Kreditnehmer
Was kostet mich die Kreditaufnahme – und was bedeutet eine negative Anleiheposition?
📖 Der Kreditnehmer erhält heute 10 € und muss morgen in jedem Zustand 11 € zurückzahlen – dieselbe Transaktion wie beim Anleihekäufer, nur mit umgekehrten Vorzeichen.
B0 = 10.0
B1 = 11.0
cashflow_today = +B0
cashflow_tomorrow = -B1 # in beiden Zuständen
Ergebnisse
Mittelzufluss heute
10,000000
Rückzahlung morgen
-11,000000
Finanzierungskosten
1,000000
Zinssatz
0,100000
Interpretation
Eine negative Anleiheposition in einem Replikationsportfolio bedeutet wirtschaftlich genau dies: eine Kreditaufnahme. Wer z. B. -5/33 Anleihen hält, leiht sich heute Geld und schuldet morgen die sichere Rückzahlung.
Optionskäufer
Was kostet mich die Option, was zahlt sie aus – und wo liegt der Unterschied zwischen Payoff und Profit?
📖 Der Optionskäufer zahlt heute die Prämie und erhält morgen max(S1 - K, 0) mit Strike K = 15 €.
Ein höherer Strike verschiebt den Payoff nach unten: Nur Aktienwerte oberhalb von K führen zu einer Auszahlung. Der Verlust des Käufers ist in der Modellwelt auf die Prämie begrenzt.
⚠️ Payoff ≠ Profit: Der Profit berücksichtigt die gezahlte Prämie, der Payoff nicht.
Optionsverkäufer / Stillhalter
Welche Verpflichtung gehe ich ein – und warum brauche ich ein Replikationsportfolio?
📖 Der Stillhalter vereinnahmt heute die Prämie und schuldet morgen den Call-Payoff. Zur Absicherung kann er das Replikationsportfolio kaufen: 0.333333 Aktie(n) und -0.151515 Anleihe(n) für 1.81818 €.
Der Verkäufer muss nicht auf fallende Kurse spekulieren: Hält er das Replikationsportfolio, ist seine Position in beiden Zuständen neutral. Sein Geschäft ist dann die Differenz zwischen vereinnahmter Prämie und Hedgekosten, nicht eine Kurswette.
Market Maker
Wie sichere ich einen verkauften Claim ab – und warum muss mein Quotierungspreis nahe am Replikationspreis liegen?
📖 Der Market Maker verkauft den Call und kauft gleichzeitig das Replikationsportfolio (0.333333 Aktie(n), -0.151515 Anleihe(n)) für 1.81818 €. Danach ist sein Nettopayoff in beiden Zuständen null.
Quotiert der Market Maker deutlich über dem Replikationspreis, werden Arbitrageure gegen ihn handeln; deutlich darunter macht er sichere Verluste. Ein Spread um den Replikationspreis ist eine Entschädigung für reale Friktionen – im idealisierten Modell ist er kein Arbitragegewinn.
⚠️ Version 1: nur statische Replikation der Two-State Economy, kein dynamisches Delta-Hedging.
Arbitrageur
Weicht der Marktpreis vom Replikationspreis ab – und bleibt nach Aufbau der Position wirklich kein Risiko?
Der Call ist im Modell überteuert. Die Strategie liefert heute +0.181818 € und in beiden Zuständen 0 € – ein risikoloser Gewinn. Erst die Prüfung aller Zustands-Cashflows rechtfertigt das Wort 'Arbitrage'.
⚠️ Idealisierte Modellwelt: keine Transaktionskosten, Ausführungsrisiken oder Bid-Ask-Spreads.
Marktbeobachter / Ökonom
Welche Zahlungsvektoren sind mit den gehandelten Assets erreichbar – und was kosten reine Zustandsauszahlungen?
📖 Der Ökonom betrachtet nicht einzelne Geschäfte, sondern die Struktur des Marktes: Zustandsraum {Up, Down}, Assets (Anleihe, Aktie), Auszahlungsmatrix und deren Rang.
Die Auszahlungsmatrix hat Rang 2 bei 2 Zuständen. Der Markt ist vollständig: Jeder beliebige Zahlungsvektor lässt sich durch ein Portfolio aus Anleihe und Aktie exakt nachbilden. Die Arrow-Debreu-Zustandspreise bilden eine Basis: Jeder Claim ist eine Linearkombination der beiden Basisvektoren, sein Preis die entsprechende Kombination der Zustandspreise – identisch mit dem Replikationspreis.
Replikation & Arbitrage
Auszahlungsmatrix M (Zeilen: Up/Down · Spalten: Anleihe/Aktie)
Anleihe
Aktie
Up
11,00
20,00
Down
11,00
5,00
Replikation des Calls: Löse M · φ = C1 = (5,00, 0,00)ᵀ
Verifikation: M · φ = (5,000000,
0,000000)
✓ stimmt mit C1 überein
Arbitrageprüfung
Marktpreis C0
2,00000 €
Replikationspreis
1,81818 €
Abweichung
+0,18182 €
Status
überteuert
Strategie
Claim am Markt für 2.000000 verkaufen (Short).
Replikationsportfolio kaufen: 0.333333 Aktie(n) und -0.151515 Anleihe(n) für 1.818182.
Cashflow heute
Up
Down
risikolos?
+0,18182 €
0,00000 €
+0,00000 €
ja ✓
Marktvollständigkeit & Arrow-Debreu
Rang(M) = 2 bei 2 Zuständen –
der Markt ist vollständig.
Die Auszahlungsmatrix hat Rang 2 bei 2 Zuständen. Der Markt ist vollständig: Jeder beliebige Zahlungsvektor lässt sich durch ein Portfolio aus Anleihe und Aktie exakt nachbilden.
Arrow-Debreu Security
Payoff
Zustandspreis
Portfolio (Anleihe, Aktie)
Up-Security
(1, 0)
0,36364 €
(-0,030303,
0,066667)
Down-Security
(0, 1)
0,54545 €
(0,121212,
-0,066667)
Preis des Calls über Zustandspreise:
π_u · 5,00 + π_d · 0,00
= 1,81818 €
– identisch mit dem Replikationspreis.